INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO
A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita, de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática.
Este o motivo para que você faça paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário.
Aqueles alunos que cursaram exatas talvez considerem a parte da revisão matemática meio redundante, porém, aconselhamos só dispensar esta revisão quem continua usando a matemática como ferramenta de trabalho no seu dia a dia. Um pequeno lapso de memória, muito comum quando não se vê a matéria por algum tempo, na hora da prova, pode significar pontos Preciosos.
Concomitantemente com a revisão acima mencionada, você deve estudar, todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.
Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores alunos terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos.
Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico na seção PROVAS RESOLVIDAS, como não poderia deixar de ser, serão do tipo 'charada' ou 'quebra-cabeças'.
Já mencionamos que iremos indicar o método a ser adotado para se chegar à solução da maneira mais rápida possível. Porém, como cada problema pode ser abordado de inúmeras maneiras, fica o aluno livre para seguir seu próprio raciocínio
Pedimos, inclusive, que sempre que você julgar ter encontrado um caminho mais simples ou mais lógico que o nosso, que nos comunique para, assim, podermos ir aprimorando gradativamente nossa didática. Será de inestimável ajuda.
Onde for necessário daremos o devido embasamento teórico.
Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.
Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos.
Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50 % dos problemas. Os outros 30 % podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que iremos ensinar ao longo das questões.
Como não é preciso tirar nota 10 para passar num concurso público, acreditamos que este site vai atender satisfatoriamente a maioria dos candidatos.
Os exercícios que aparecem em, por serem muito similares aos dos concursos que você irá enfrentar em breve, servem tanto para treino como para acompanhamento dos seu desempenho. É com base nas respostas a estas questões que você poderá avaliar seus conhecimentos.
I - COJUNTOS NUMÉRICOS E ARITMÉTICA
1.1 Operação com números
1.1.1 Os números naturais
Os números 1,2,3,4,5,6,.... chamam-se números naturais, visto surgirem naturalmente no processo de contagem.
Sua representação gráfica é uma reta, onde os mesmos estão dispostos em ordem crescente:
1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Para somar dois dêsses números, digamos 5 e 7, começamos pelo 5 (ou pelo 7) e contamos para a direita sete (ou cinco) números para alcançar 12.
Uma vez que não existe número natural maior que todos os outros, a soma de dois números naturais é sempre um número natural, isto é, a adição é sempre possível.
Para subtrair 5 de 7, começamos pelo 7 e contamos para a esquerda cinco números até o 2. A operação de subtração não pode ser executada todas as vêzes.
Por exemplo, 7 não pode ser subtraído de 5, visto como há somente quatro números à esquerda de 5.
Para que a subtração seja sempre possível, é necessário criar novos números para colocar à esquerda dos números naturais.
O primeiro deles, 0, chama-se zero e os demais, -1, -2, -3, -4, -5, ...... chamam-se inteiros negativos. Os novos números tomados em conjunto com os números naturais (agora denominados inteiros positivos e escritos aqui, como +1, +2, +3, +4, +5 ......) formam um conjunto que não tem princípio nem fim
...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...
As operações de adição e subtração (isto é, a contagem para a direita ou para a esquerda) são possíveis, sem exceção.
Por uma questão de comodidade, nos números positivos o sinal + é habitualmente suprimido.
1.1.3 Adição e Subtração
Para adicionar dois inteiros como +7 e -5, começamos por +7 e contamos para a esquerda (lado indicado pelo sinal de -5) cinco números até +2 ou começamos por -5 e contamos para a direita (lado indicado pelo sinal de +7) sete números até +2.
Como você somaria -5 e -7 ?
Para subtrair +7 de -5, começamos por -5 e contamos para a esquerda (lado oposto à direção indicada pelo sinal de +7) sete números até -12.
Para subtrair -5 de +7, começamos por +7 e contamos para a direita (lado oposto à direção indicada pelo sinal de -5) cinco números até +12.
Como você subtrairia +7 de +5 ?
E -5 de -7 e também -7 de -5 ?
Para calcular de maneira fácil com números positivos e negativos, é necessário evitar o processo de contagem.
Para isso, observamos que cada um dos números de +7 e -7 está a sete passos a partir de 0.
Indicamos êste fato dizendo que o valor absoluto de cada um dos números +7 e -7 é 7. Mais precisamente, o valor absoluto:
de 0 é 0
de a ¹ 0 a se a é positivo
-a se a é negativo
Então, depois de decorar cartas tábuas de adição e de multiplicação, usamos as seguintes regras:
Regra 1: Adição
Para somar dois números que têm o mesmo sinal, somam-se seus valores absolutos e dá-se à soma o sinal comum.
Por exemplo,
+7 + (+5) = + (7 + 5) = + 12
- 6 + (- 9) = - (6 + 9) = - 15
Regra 2: Adição
Para somar dois números que têm sinais diferentes, subtrai-se o menor valor absoluto do maior e dá-se à diferença o sinal do número que tem o maior valor absoluto.
Por exemplo,
+13 + (-5) = + (13 - 5) = +8
+ 4 + (-18) = - (18 - 4) = -14
Regra 3: Subtração
Para subtrair um número, troque seu sinal e some.
Por exemplo,
14 - (- 6) = 14 + 6 = 20
- 8 - (- 9) = - 8 + 9 = 1
- 8 - (+ 7) = - 8 + (- 7) = - 15
1.1.4. Multiplicação e divisão
Visto como
3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 ou
3 . 2 = 3 + 3 = 6
admitimos que
(+3) . (+2) = + 6
(+3) . (- 2) = - 6
(- 3) . (+2) = - 6
Resta considerar o produto de dois números negativos, digamos (- 3) . (- 2)
Uma vez que - 3 = - (+ 3), temos
(-3) . (-2) = - (+3) . (-2) = - (-6) = +6
Assim podemos estabelecer a quarta regra:
Regra 4: Multiplicação e Divisão
Para multiplicar dois números ou para dividir um número por outro, multiplique ou divida os valôres absolutos e anteponha um sinal + se os dois números tiverem o mesmo sinal e um sinal - se os dois números tiverem sinais diferentes.
Se bem que as regras acima tenham sido ilustradas para inteiros positivos e negativos, deve admitir-se que prevaleçam tanto para as frações ordinárias como para os números irracionais, que serão introduzidos mais tarde.
1.1.5. Divisão Euclidiana
Façamos mais algumas considerações sobre a divisão, começando logo por uma das regras mais importantes de toda a matemática,.
Regra fundamental da divisão:
NUNCA DIVIDIRÁS POR ZERO.
Dados dois números naturais a e b, sendo b ¹ 0, representamos a divisão de a por b assim
a
b
r
q
onde:
a ® dividendob ® divisor q ® quociente (natural) r ® resto (natural), r < b
Esta é a representação pelo método da chave ou divisão euclidiana. Podemos, ainda, representá-la pelo método de Descartes, ou seja:
a = b . q + r
Se r = 0 dizemos que a divisão é exata ou que a é divisível por b ou, ainda, que b divide a. Neste caso, a é múltiplo de b, e b é um divisor de a.
Por exemplo: 143 é divisível por 13, pois
143 = 13 . 11 + 0
Logo, 143 é um múltiplo de 13 e 13 é um divisor de 143.
1.1.6. Números primos
Quando um número natural superior a 1 tem por divisores naturais apenas o 1 e ele próprio (portanto, somente dois divisores), dizemos que esse número é primo.
Assim, são números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, ......
1.1.7. Números compostos
Se o número natural superior a 1 possuir mais que 2 divisores distintos, então ele é chamado número composto. Por exemplo:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, .....
1.1.8. Números pares e ímpares
O conjunto dos números naturais pode ser separado em duas partes: uma dos múltiplos de 2, os números pares, e outra dos não múltiplos de 2, os números ímpares. Assim:
P = {0, 2, 4, 6, .... } eI = {1, 3, 5, 7, .....}
1.1.9. Note que:
- os números 0 e 1 não são primos nem compostos
- o 2 é o único número natural que é primo e par
- existem infinitos números primos positivos
- todo número par pode ser escrito na forma 2k, k Î N.
- todo númeo ímpar pode ser escrito na forma 2k + 1, k Î N.
1.1.10. Crive de Eratóstenes
Para se verificar se um dado número é ou não primo podemos utilizar os critérios de divisibilidade conhecidos como o Crivo (peneira) de Eratóstenes:
Critérios de divisibilidade:
são divisíveis por 2 todos os números pares
Os números cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3 são divisíveis por 3
Os números cuja dezena final é um múltiplo de 5 ou termina em 00 são divisíveis por 5
Todos os números cujo algarismo da unidade é 0 ou 5 são divisíveis por 5
Os números cujo algarismo da unidade é 0 (zero) são divisíveis por 10
Todos os números divisíveis por dois outros, são tmbém divisíveis pelo produto desses números. Ex: 36 é divisível por 2, por 3 e também por 6=2x3.
1.1.11. Teoria Fundamental da Arimética
Todo número natural superior a 1 pode ser decomposto em uma multiplicação, onde um dos fatores é 1 e os demais são números primos.
Assim, qualquer número natural n pode ser escrito como segue:
n = 2a . 3b . 5g . 7q..... onde a, b, g, q Î N
Então o número de divisores naturais (positivos) de n é dado por:
D+ (n) = (a+1) . (b+1) . (g+1) . (q+1) ...
1.1.12. Múltiplos e divisores comuns
Consideremos dois naturais a e b não nulos, os conjuntos M(a) e M(b) de seus múltiplos naturais e D(a) e D(b) de seus divisores naturais.
Assim, definimos mínimo múltiplo comum (mmc) entre a e b ao menor elemento comum não nulo entre M(a) e M(b) e máximo divisor comum (mdc) entre a e b ao maior elemento comum entre D(a) e D(b). Dois números naturais quaisquer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1.
- TEOREMA
Sendo a e b naturais, não nulos, temos que o produto de seus respectivos máximos divisores comuns e mínimos múltiplos comuns é igual ao produto de a e b:
MDC (a,b) . MMC (a,b) = a.b
1.1.12. Fraçoes ordinárias
Nos exercícios resolvidos até agora, todos os quocientes eram inteiros. Isso era necessário porque, no conjunto dos números inteiros, não há símbolo para representar, digamos, o resultado da divisão 3 por 4.
Se a divisão por qualquer inteiro diferente de zero deve ser possível, sem exceção, é necessário inventar símbolos adicionais (números).
Êsses símbolos, chamados frações ordinárias, são construídos indicando-se (por meio do sinal ¾ ou / ) as operações a serem realizadas;
Por exemplo,
1 : 2 = 1/23 : 4 = 3/42 : 3 = - 2/3 ....
Sejam a e b dois inteiros positivos diferentes quaisquer. Se na escala (a), o inteiro a ficar à esquerda do inteiro b, dizemos que a é menor do que b e escreveremos a < b.
Se, entretanto, a ficar à direita de b, dizemos que a é maior do que b e escrevemos a > b.
Se a < b, a fração (ordinária) a/b chama-se própria; caso contrário, imprópria. As frações próprias a/b são:
1/2
1/3
2/3
1/4
2/4
3/4
1/5
2/5
3/5
4/5
Sejam c/d e e/f duas frações quaisquer do conjunto acima. O problema que surge é: como podemos dizer se
c/d = e/f
c/d < e/f ou
c/d > e/f ?
Isso nos leva à regra mais útil para calcular com frações:
Frações Ordinárias - Regra 1
O valor de uma fração não se altera quando o numerador e o denominador forem multiplicados ou divididos por um mesmo número diferente de zero.
Por exemplo:
1/3 = 2/6 = 4/12 e
8/20 = 4/10 = 2/5
Pelo emprego da regra 1, duas ou mais frações quaisquer podem ser reduzidas ao mesmo denominador; por exemplo,
1/3, 2/5 e 3/10 podem escrever-se
10/30, 12/30 e 9/30 ou
20/60, 24/60 e 18/60 etc
Então, 3/10 < 1/3 < 2/5, visto como
9/30 < 10/30 < 12/30.
Ao somar e subtrair frações, é necessário reduzir as diversas frações ao mesmo denominador.
Dos muitos denominadores que se podem usar, há sempre um menor de todos, chamado o menor denominador comum.
No exemplo acima, 30 é o menor denominador comum.
Frações Ordinárias - Regra 2
A soma (diferença) de duas frações reduzidas ao mesmo denominador é uma fração cujo denominador é o denominador comum e cujo numerador é a soma (diferença) dos numeradores.
Por exemplo:
3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/20 = (12+5) / 20 = 17/20e
2/3 + 3/2 - 5/4 = 8/12 + 18/12 - 15/12 = (8 + 18 - 15) / 12 = 11/12
Frações Ordinárias - Regra 3
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das várias frações.
Por exemplo:
2/3 . 5/4 . 9/10 = 2.5.9 / 3.4.10 = 3/4
Frações Ordinárias - Regra 4
O quociente de duas frações pode ser avaliado pelo emprêgo da regra 1 com o menor denominador comum das frações como multiplicador.
Por exemplo:
22
:
12
=
35.22
:
35.12
=
5 . 22
=
5 . 11
= 55
7
5
7
5
7 . 12
7.6
42
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.1. Definições iniciais
Observe a expressão: S = 5 p + 7
4
TABELA
P
S
20
--->
32
24
--->
37
28
--->
42
32
--->
47
S e p são variáveis porque podem assumir vários valores, conforme a tabela ao lado. S assume valores em função dos valores atribuídos a p, e os quatro pares da tabela são apenas alguns dos infinitos valores possíveis.
- Êpa !!! Variável não é x ???
- Não necessariamente... Na Matemática usamos diversas letras para representar as variáveis, tais como x, y, z, bem como as gregas a, b, g, d. Quem manda é o freguês.
Os números 5/4 e 7 são chamados coeficientes da expressão.
Agora vamos fixar um valor para S, por exemplo 47. Então a expressão fica:
47 = 5 p + 7
4
e não podemos mais chamar p de variável, pelo simples fato de que ele não varia, pois se S = 47 então p vale 32. Nestas condições chamamos p de incógnita.
2.1.1. Definições iniciais
Observe a expressão: E = m . c2 . Nessa expressão, c é uma constante que indica a velocidade da luz, que é de 3 . 108 metros por segundo. A letra m é uma variável que representa a massa de um corpo (em kilogramas) e E é uma variável que representa a energia armazenada neste corpo (medida em joules).
2.1.2. Oque são expressões algébricas ?
Anteriormente já misturamos números e letras através das operações de soma, subtração (como soma do simétrico ou oposto), multiplicação, divisão (como multiplicação pelo inverso ou recíproco), potenciação e radiciação. As expressões que apresentam uma ou mais letras e números (variáveis, incógnitas, etc.), envolvendo as operações elencadas acima, são estudadas numa parte da Matemática chamada Álgebra, e por isso são chamadas expressões algébricas. Por exemplo:
3x5y2
monômio
xy2 + x3y
monômio
x2y - 5xy2 + 6y3
trinômio
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
polinômio
2.1.3. Em resumo
1. Monômios são expressões onde não aparecem operações de soma algébrica
2. Soma algébrica refere-se tanto à adição como à subtração
3. Termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal.
4. Binômio: soma algébrica de 2 monômios
5.Trinômio: soma algébrica de 3 monômios
6. Polinômios: soma algébrica de 4 ou mais monômios.
7. Podemos chamar monômios, binômios e trinômios indistintamente de polinômios.
2.2 Operações
2.2.1. Soma algébrica de monômios
Somar monômios é apenas reduzir seus termos semelhantes. Exemplo:
5x2 - 3x2 + 3xy - 10xy - 5x3y + 6x3y =
= (5 - 3)x2 + (3 - 10)xy + (-5 + 6)x3y =
= 2x2 - 7xy + x3y
2.2.2. Multiplicação e divisão de monômios
Exemplos:
x2 . (3x3) . (2y) . y4
= 6x5y5
coeficientes 3. 2
= 6
x x2 . x3
= x5
y y . y
= y5
(12x4y3) : (-6x3y2)
= -2xy
coeficientes )
12 : (-6 = -2
x
x4 : x3 = x1 = x
y
y3 : y2= y1 = y
2.2.3 Multiplicação e divisão de monômios
O produto de polinômios se baseia na propriedade distributiva da multiplicação. Assim, dados dois polinômios
P1[x] = x2 - x + 1 e
P2[x] = -x3 + x - 2
1. Desenvolvemos os produtos parciais utilizando a propriedade distributiva da multiplicação:
P1[x] . P2[x] equivale a multiplicar o polinômio P1[x] por cada um dos termos do polinômio P2[x]
P1[x] . P2[x] = P1[x] . (-x3 +x - 2) = = P1[x] (-x3) + P1[x] (x) + P1[x] (-2) = = (x2-x+1)(-x3)+(x2-x+1)(x)+(x 2-x+1)(-2) = (-x5 +x4 -x3)+(x3 -x2 +x)+(-2x2 +2x -2)
2. Reduzimos a termos semelhantes e ordenamos segundo as potências decrescentes de uma das variáveis (no caso só temos x):
(-x5 +x4 -x3)+(x3 -x2 +x)+(-2x2 +2x -2) = = -x5 + x4 - 3x2 + 3x - 2
2.2.4 Multiplicação e divisão de monômios
Este processo é muito parecido com o Método das Chaves, utilizado na Divisão Euclidiana, visto em Conjuntos Numéricos. Vamos recordá-lo:
Exemplo:
Encontrar o quociente e o resto da divisão de 35 por 17
35
17
34
2
1
O número 35 chama-se Dividendo e o número 17 chama-se Divisor.
Quantas vezes o 17 cabe no 35?
O número 2 chama-se quociente.
De 35 subtraímos 17 . 2 = 34 e obtemos o número 1, que se chama Resto.
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto
Resto < Divisor
Utilizando o mesmo algoritmo (sistema de cálculo) vamos dividir dois polinômios onde:
dividendo D[x] = x4 - 4x2 - x + 3
divisor d [x] = x - 2
Para zerar o primeiro termo temos que multiplicar o divisor por x3(que será, portanto, o primeiro termo do quociente) e efetuar a subtração
Continuando com a divisão, vamos baixar os demais itens do dividendo:
Vamos achar o termo seguinte do quociente que faça zerar o primeiro termo (2x3) do dividendo e assim sucessivamente até o fim da divisão
2.3 Fatoração
2.3.1 O que é Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la como uma multiplicação: quando todos ou alguns termos de uma expressão algébrica têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão obtida dividindo-se a expressão inicial pelo fator comum.
2.3.2 Por que fatorar ?
Sempre podemos relacionar as expressões algébricas com o que vimos em Conjuntos Numéricos. Por que fatorávamos os números? Para simplificá-los, encontrar o MDC e o MMC, etc. Será de grande valia aqui, bem como na resolução de equações.
2.3.3 Formas de fatoração
- Fator Comum
Se existir um fator comum a todos os termos de uma expressão algébrica, este deve ser colocado em evidência
- Agrupamento
Se não existir um fator comum a todos os termos de uma expressão algébrica, então:
- Formamos 'grupos' que tenham um fator comum, isto é 'agrupamos' os termos.
- Em cada grupo colocamos esses fatores comuns em evidência.
- Se os fatores comuns a cada grupo forem iguais entre si, então serão colocados em evidência multiplicando a expressão toda.
- Utilizando produtos notáveis
A palavra produto refere-se ao resultado de uma multiplicação. Alguns produtos são chamados notáveis porque aparecem inúmeras vezes nas simplificações de expressões e equações. São importantes ferramentas de trabalho que aparecerão no decorrer de todo o estudo da Matemática.
2.4 Produtos notáveis
2.4.1 Quadrado da soma
Se pensarmos em números, uma soma elevada ao quadrado não oferece maiores dificuldades. Seja por exemplo a soma
(2 + 3)2 = 52 = 25
Mas, se ao invés de números tivéssemos letras, teríamos que pensar
(a + b)2 = = (a + b) . (a + b) = = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2
'O quadrado de uma soma é igual ao quadrado do primeiro, mais duzs vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo'
Quadrado da soma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Usando o exemplo numérico acima, note que:
(2 + 3)2 =
= 22 + 2.2.3 + 32 =
= 4 + 12 + 9 =
= 25
Note ainda que (a + b)2 =/= a2 + b2
22 + 32 = 4 + 9 = 13
2.4.2 Quadrado da diferença
(a - b)2 =
= (a - b) . (a - b) =
= a2 - 2ab + b2
'O quadrado de uma diferença é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.'
Quadrado da diferença:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Visualizando: (a-b)2 seria igual a a2 menos os retângulos ab + ba se nesta operação, b2 não tivesse sido subtraído duas vezes, razão pela qual deve ser somado uma vez a a2
2.4.2 Produto de conjugados
O produto de um binômio do tipo (a + b) pelo seu conjugado (a - b) é sempre igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo
Produto de conjugados:
(a + b) . (a - b) = a2 - b2
2.4.3 Cubo da soma
= (a + b) . (a2 + 2ab + b2) =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de um binômio é igual a:
o cubo do 1°
+ 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2°
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2°
+ o cubo do 2°
Cubo da soma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2.4.4 Cubo da diferença
(a -b)3 = (a - b) . (a - b)2
= (a - b) . (a2 - 2ab + b2) =
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
O cubo da diferença de um binômio é igual a:
o cubo do 1°
- 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2°
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2°
- o cubo do 2°
Cubo da diferença:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
2.4.5. Cubo da diferença
(a -b)3 = (a - b) . (a - b)2
= (a - b) . (a2 - 2ab + b2) =
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
O cubo da diferença de um binômio é igual a:
o cubo do 1°
- 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2°
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2°
- o cubo do 2°
Cubo da diferença:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
2.4.6. Soma de cubos
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
Do ítem 2.4.4. Cubo da soma temos que
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
invertendo:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 o que nos leva à equação acima.
a3 + b3 = (a + b) (a + b)2 - 3ab(a + b)
= (a + b) (a2 + 2ab +b2 - 3ab)
= (a + b) (a2 - ab +b2)
2.4.7. Diferença de cubos
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
= (a - b) (a2 - 2ab +b2 + 3ab)
= (a - b) (a2 + ab +b2)
2.4.8. Quadrado do trinômio
(a+b+c)2 = [(a + b) + c]2
= a2 + 2ab +b2 + 2ac + 2bc +c2
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
RACIOCÍNIO LÓGICO NA TEORIA DOS CONJUNTOS
Não iremos expor toda a Teoria dos Conjuntos, pois não é esta a proposta deste curso, nem há necessidade de nos aprofundarmos tanto
Neste capítulo relembraremos apenas alguns tópicos, para nos familiarizarmos com a linguagem e a simbologia.
Apresentaremos alguns exercícios resolvidos que servirão de embasamento para a teoria. Antes de olhar a solução tente resolvê-los. Será uma ótima forma de relembrar este assunto.
3.1. Recordando
3.1.1. Relações de pertinência:
Î e Ï (relacionam elemento com conjunto)
3.1.2. Relações de inclusão:
Ë, Ì, Í (relacionam um conjunto com outro conjunto)
3.1.3. Subconjunto:
diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B.
3.1.4. Conjunto potência ou conjunto das partes de um conjunto:
chama-se conjunto potência (representado por 2A) ou conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: P(A) = {x / x Ì A}.
3.1.5. Operações com conjuntos:
dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, tais que A Ì S e B Ì S, denomina-se:
- União (È) :
A È B = {x / x ÎA ou x ÎB}
- Interseção (Ç) :
A Ç B = {x / x ÎA e x ÎB}
- Diferença ( - ) :
A - B = {x / x ÎA e x ÏB}
- Complementar ( CsA ou A'):
CsA = {x ÎS / x ÏA}
Nota: dados dois conjuntos A e B, tais que A Ì B, tem-se: CBA = B - A = {x / x Î B e x Ï A}.
Se A Ë B não tem sentido CBA.
3.1.6. Produto Cartesiano:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x ÎA e y ÎB.
Simbolicamente escreve-se:
A . B = {(x,y) / x ÎA e y ÎB}
3.2. Exercício resolvido (Não disponível)
3.3. Exercício para firmar os conceitos
A solução é dada na sequencia. Tente resolvê-los antes de olhar as respostas.
3.3.1. Exercício 1
Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto-universo S, tais que:
A Ë B,
B Ë A,
C Ì A e
C Ì B
3.3.2. Exercício 2
Considere o conjunto
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
e determine:
a) o número de subconjuntos de A
b) o número de subconjuntos de A que
possuem dois elementos
c) o número de subconjuntos de A que
possuem sete elementos
d) o número de subconjuntos de A que
possuem nove elementos
3.3.3. Exercício 3
Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:
a) instrumentos de sopro ou de corda ?
b) somente um dos dois tipos de
instrumento ?
c) instrumentos diferentes dos dois
citados ?
3.3.4. Exercício 4
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:
Concursos
N. de aprovados
A
150
B
140
C
100
A e B
45
A e C
30
B e C
35
A, B e C
10
Pergunta-se:
a) quantas pessoas fizeram os três concursos?b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos?c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos?d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C?
3.4 Solução dos exercícios propostos
3.4.1 Exercício 1
A Ë B, B Ë A, C Ì A, C Ì B, A Ì S, B Ì S e C Ì S
3.4.2. Exercício 2
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a) o número de subconjuntos de A
P(A) = 2n = 210 = 1.024
b) o número de subconjuntos de A que possuem dois elementos
P(A) com 2 elementos = C10,2
C10,2= 10! / (10-2)! . 2!
C10,2 = 10 . 9 / 2 = 90 / 2 = 45
c) o número de subconjuntos de A que
possuem sete elementos
P(A) com 7 elementos = C10,7
C10,7 = 10! / (10 - 7)! . 7! = 10! / 3! . 7!
C10,7 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2 = 720 / 6 = 120
d) o número de subconjuntos de A que possuem nove elementos
P(A) com 9 elementos = C10,9
C10,9 = 10! / (10-9)! . 1! = 10! / 9! = 10
Quem não se lembra de análise combinatória terá dificuldade em entender o acima exposto.
Porém, alertamos que num curso como este, estes assincronismos serão frequentes. Se fossemos entrar em Raciocínio Lógico somente depois de feita toda a revisão de matemática do 2. grau o curso ficaria muito maçante para a grande maioria.
Não devemos esquecer que este curso se destina a pessoas com curso superior e que por conseguinte têm obrigação de saber de antemão toda a matemática de 2. grau.
Sugerimos, para quem não consegue acompanhar alguns tópicos da matéria, que aguarde a aula em que será dada a revisão matemática respectiva para então voltar ao assunto.
Por outro lado, é bom que o candidato vá se acostumando a enfrentar problemas para os quais não está preparado.
Num concurso de seleção sempre haverá um problema ou outro que, devido à vastidão da matéria, não foi abordado em aula.
3.4.3. Exercício 3
Solução: Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica.
DICA: Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.
Passo 1
60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio
Passo 2
a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100
b) 240 tocam instrumento de sopro.
240 - 60 = 180
Voltando ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:
Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:
a) instrumentos de sopro ou de corda ?
Pelos dados do problema:
100 + 60 + 180 = 340
b) somente um dos dois tipos de instrumento ?
100 + 180 = 280
c) instrumentos diferentes dos dois citados ?
500 - 340 = 160
Nota: Para quem está familiarizado com a Teoria dos Conjuntos, a solução poderia também ser obtida através da fórmula:
a) n (S È C) = n (S) + n (C) - n (S Ç C)
= 240 + 160 - 60 = 340
b) [n (S) - n (S Ç C)] + [n (C) - n (C Ç S)] =
[ 240 - 60] + [ 160 - 60 ] = 180 + 100 = 280
c) n (F) - n (S È C) = 500 - 340 = 160
3.4.4 Exercício 4
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:
Concursos
N. de aprovados
A
150
B
140
C
100
A e B
45
A e C
30
B e C
35
A, B e C
10
Solução:
Nota: só vamos ensinar o método visual, através do diagrama. Todavia, nada impede que o proble-ma seja resolvido pelas fórmulas correspondentes
Passo 1:
Fazer o diagrama e começar a preenchê-lo de dentro para fora com os dados disponíves: A, B e C = 10
Passo 2:
Se 10 pessoas já foram aprovadas em A, B e C, quantas restaram só em AeB, AeC e BeC:
A e B = 45 - 10 = 35A e C = 30 - 10 = 20B e C = 35 - 10 = 25
Passo 3:
Agora, só falta calcular quantos foram aprovados em um único concurso, para podermos terminar de preencher o diagrama.
A = 150 - ( 35 + 20 + 10 ) = 85 B = 140 - ( 35 + 10 + 25 ) = 70 C = 100 - ( 20 + 10 + 25 ) = 45
Após preencher corretamente o diagrama, qualquer pergunta pode ser facilmente respondida. Basta retirar do diagrama os dados correspondentes :
a) quantas pessoas fizeram os três concursos?
Todas. Somando os dados do diagrama obtemos:
85+35+70+20+10+25+45 = 290
b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos?
85 + 70 + 45 = 200
c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos?
Cuidado: 'pelo menos dois' não exclui 'em todos os três'. Temos que somar, portanto, todo o miolo:
35 + 20 + 10 + 25 = 90
d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C?
Esta resposta é um dado direto do diagrama:
= 35
IV. RACIOCÍNO LÓGICO EM SUCESSÕES DE PALAVRAS
Neste capítulo apresentaremos várias sucessões de palavras escritas obedecendo a uma ordem lógica. Evidentemente a lógica aplicada a uma sucessão poderá ser diferente da utilizada em outra.
A lógica na escrita, às vezes, pode parecer até absurda, mas nossa intenção é mostrar problemas onde se empregam os mais diversos raciocínios possíveis.
Assim, se no concurso aparecer um problema sem sentido aparente, você estará treinado para uma lógica que muitas vezes não é nada matemática.
4.1. Exercícios resolvidos
4.1.1. Exercício 1
Uma propriedade lógica define a sucessão: SEGURO, TERRA, QUALIDA-DE, QUILATE, SEXTANTE, SABIO, .....
Escolha a alternativa que preenche corretamente a lacuna:
a. JADE b. CHINÊS c. TRIVIAL d. DOMÍNIO e. ESCRITURA
4.1.2. Exercício 2
A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica:
VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X.
Escolha a alternativa que substitui X corretamente:
a. MALVADO b. CAPIXABA c. SOTEROPOLITANO d. BONITO e. PIAUIENSE
4.1.3. Exercício 3
Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica:
HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, ..............
Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna:
a. PÉS b. MÃO c. COSTAS d. BRAÇO e. TRONCO
4.1.4. Exercício 4
Observe a sucessão a seguir composta de letras do alfabeto da língua portuguesa e escolha a alternativa que determina X corretamente:
B, D, G, L, Q, X
a. R b. U c. X d. A e. H
4.2. Soluções dos exercícios propostos
4.2.1. Exercício 1
A sucessão é formada de palavras cujas três primeiras letras são as mesmas dos dias da semana. Portanto, a palavra que preenche corretamente a lacuna é DOMÍNIO, cujas três primeiras letras são as mesmas de DOMINGO. Alternativa d.
4.2.2. Exercício 2
A sucessão é formada, sucessivamente, de palavras tais que na primeira há apenas uma vogal, na segunda há duas vogais juntas, na terceira três vogais juntas, na quarta quatro vogais juntas. Evidentemente, na quinta palavra, deverá haver cinco vogais juntas. Logo, X é a palavra PIAUIENSE. Alternativa e.
4.2.3. Exercício 3
Os vocábulos da sucessão dada rimam, sucessivamente, com os algarismos pares do sistema de numeração decimal.
Homero rima com zeroDepois rima com doisTeatro rima com quatroDeveis rima com seisCoito rima com oito
O próximo par é dez. Das alternativas apresentadas, o vocábulo que rima com dez é pés. Alternativa a.
4.2.4. Exercício 4
Cada elemento da série é formado por uma letra. Do B para o D pula uma letra. Do D para o G, duas. Do G para o L, três. Do L para o Q quatro. Do Q em diante deve-se pular cinco letras, logo o X. Alternativa c.
